Un modello risolvibile per la simmetria

Rapporti scientifici volume 13, numero articolo: 13768 (2023) Citare questo articolo

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I modelli risolvibili analiticamente sono punti di riferimento negli studi sulle transizioni di fase e sulle biforcazioni che formano modelli. Tali modelli sono noti per transizioni di fase del secondo tipo in mezzi uniformi, ma non per stati localizzati (solitoni), poiché le equazioni integrabili che producono solitoni non ammettono in esse transizioni intrinseche. Introduciamo un modello risolvibile per transizioni di fase che rompono la simmetria sia del primo che del secondo tipo (alias biforcazioni sub e supercritiche) per solitoni fissati a un potenziale combinato di doppio pozzo lineare-non lineare, rappresentato da una coppia simmetrica di funzioni delta. Vengono considerati sia i segni di autofocalizzazione che di defocalizzazione della nonlinearità. Nel primo caso si producono soluzioni esatte per solitoni simmetrici e asimmetrici. Le soluzioni dimostrano esplicitamente un passaggio tra le transizioni che rompono la simmetria del primo e del secondo tipo (vale a dire, biforcazioni sub- e supercritiche, rispettivamente). Nel modello di autodefocalizzazione la soluzione dimostra la transizione del secondo tipo che rompe l'antisimmetria del primo stato eccitato.

La dinamica delle eccitazioni collettive nei sistemi fisici è determinata dall'interazione della diffrazione o dispersione sottostante, delle autointerazioni non lineari dei campi o delle funzioni d'onda e dei potenziali che agiscono sui campi. In questo contesto, è comunemente noto che lo stato fondamentale (GS) dei sistemi lineari riproduce la simmetria del potenziale sottostante, mentre gli stati eccitati possono realizzare altre rappresentazioni della stessa simmetria1. In particolare, la funzione d'onda di una particella intrappolata in un potenziale a doppio pozzo simmetrico (DWP) è pari, mentre il primo stato eccitato è dispari.

Mentre queste proprietà fondamentali sono dimostrate dall'equazione lineare di Schrödinger, la dinamica dei condensati di Bose-Einstein (BEC) è governata, in approssimazione del campo medio, dall'equazione di Gross-Pitaevskii (GPE), che prende in considerazione le interazioni tra particelle, aggiungendo il termine cubico dell'equazione di Schrödinger per la funzione d'onda a particella singola2,3. Le interazioni repulsive o attrattive sono rappresentate dal termine cubico con il segno di autofocalizzazione (SDF) o di autofocalizzazione (SF). Essenzialmente lo stesso modello è la celebre equazione non lineare di Schrödinger (NLSE), che governa la propagazione delle onde ottiche nei mezzi non lineari4 e trova numerose altre realizzazioni, come modello universale per governare l'interazione della diffrazione o dispersione debole e della nonlinearità cubica SF5 . In ottica, una controparte del potenziale di intrappolamento è il termine nella NLSE che rappresenta la struttura di guida d'onda indotta da un profilo trasversale dell'indice di rifrazione.

La struttura GS nei modelli che combinano la non linearità DWP e SF segue la simmetria del potenziale sottostante solo nel regime debolmente non lineare. Un effetto generico che si verifica con l'aumento della forza di nonlinearità SF è la transizione di fase che rompe la simmetria, che rende il GS asimmetrico rispetto a due pozzi del DWP6. Questo effetto della rottura spontanea della simmetria (SSB) implica, tra l’altro, che il principio comunemente noto della meccanica quantistica, secondo cui GS non può essere degenere1, non è più valido nei modelli non lineari: ovviamente, l’SSB dà luogo ad una rottura spontanea della simmetria (SSB) coppia di due GS mutuamente simmetrici, con il massimo della funzione d'onda fissato al pozzo di potenziale sinistro o destro del DWP sottostante. Lo stesso sistema ammette uno stato simmetrico che coesiste con quelli asimmetrici, ma, al di sopra del punto SSB, non rappresenta il GS, essendo instabile contro perturbazioni che rompono la simmetria.

Nei sistemi con segno SDF della nonlinearità, la GS rimane simmetrica e stabile, mentre la transizione SSB rompe l'antisimmetria del primo stato eccitato (è spazialmente dispari, con esattamente uno zero della funzione d'onda, situato al centro punto). Lo stato risultante con l'antisimmetria spontaneamente rotta mantiene il punto zero, che viene spostato dal centro a destra o a sinistra.

0\)40,41,42,43, immediately implies that the family of solutions (3) in the case of the SF nonlinearity, \(\sigma =+1\), and \(\varepsilon >0\) is stable in its entire existence region, \(k>\varepsilon ^{2}/2\) (and completely unstable if the linear potential is repulsive, with \(\varepsilon <0\)). For localized states supported by the SDF nonlinearity, with \(\sigma =-1\), the VK stability criterion is replaced by the anti-VK one44, \(dP/dk<0\). Accordingly, in this case the localized states (3) are also stable in their entire existence region, which is \(00\), implies \(H_{0}<0\) for \(\varepsilon >0\), hence the localized solution represents a true bound state with the negative energy./p>0\) (the attractive potential), while both SF and SDF signs of the nonlinearity, \(\sigma =\pm 1\), will be addressed. For \(\sigma =+1\), the solution explicitly demonstrates gradual switch from the extreme subcritical bifurcation to the supercritical one via a regular subcritical bifurcation, in which the backward-going (lower) branches of unstable asymmetric states reverse into stable upper branches at turning points. For \(\sigma =-1\) the results are more straightforward, corroborating the stability of the symmetric GS and the occurrence of the supercritical antisymmetry-breaking transition in the first excited state./p>+1/2\), respectively, and a combination of these terms at \(|x|<1/2\). At points \(x=\pm 1/2\), the solutions are matched by the continuity condition for U(x) and the jump condition for the derivative dU/dx,/p>1\) and \(E(\varepsilon ,k)<1\), respectively. As it follows from Eq. (17), this condition implies that, in the case of SF nonlinearity, the symmetric state with given propagation constant k exists if the strength of the linear \(\delta\)-function potential does not exceed a maximum value,/p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\). The existence boundary (18) is shown by the red curve in Fig. 2a./p>0\)./p>2\). For a given propagation constant, the asymmetric solution exists if \(\varepsilon\) does not exceed a respective maximum value,/p>\) \(P_{{\textrm{asy}}}(k\rightarrow \infty)\equiv 1\), and it becomes the second-order transition for \(P_{{\textrm{bif}} }<1\). The corresponding equation, \(P_{{\textrm{bif}}}=1\), combined with Eq. (24), in which \(\varepsilon <\left( \varepsilon _{\max }\right) _{ {\textrm{asy}}}\) is replaced, as said above, by \(\varepsilon =\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{asy}}}\), amounts to/p>0\), are stable. Actually, the instability intervals for the asymmetric solitons are very narrow./p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\) [see Eq. (18)], is always stable, realizing the model’s GS. Accordingly, it is not subject to SSB. More interesting is the first excited state above the GS, i.e., the antisymmetric one, given by Eqs. (11)–(13) (with \(\sigma =-1\))/p>1\), in the area of the \(\left( \mu ,\varepsilon \right)\) plane above the brown boundary shown in Fig. 2b. Because Eq. (35) yields \(\varepsilon \ge 1\) in the limit of \(k\rightarrow 0\), there are no antisymmetric states at \(\varepsilon <1\). The integral power of the antisymmetric state is/p>1\) and \(\varepsilon >3/2\), respectively, in accordance with what is said above for the generic solutions of the same types./p>2\)./p>